从 10 个学生中挑选 5 个学生组成一个小组有几种方法？最多有五位数的非负整数中，数位是递减的整数有多少个？在一个 5x5 的网格中，从左下角的单元格到右上角的单元格，每次不是向上走就是向右走，有几种走法？为什么这三个数字都相等？我们将在本单元中找出答案！

我们已经考虑了组合数学中的大多数标准设置，这些设置使我们能够解决许多计数问题。然而，要在实践中成功应用这些知识，我们需要在这类问题上积累大量经验。在本单元中，我们将讨论课程中的最后一个标准设置，即有重复的组合，然后通过讨论组合学中的各种问题来积累一些经验。

概率 "一词在日常生活中使用频率很高。然而，我们并不总是可以用某个数字来描述概率：为此，我们需要一个数学模型。这个数学模型（概率空间）是什么？如何计算概率（如果给出了模型）？如何判断模型是否充分？什么是条件概率和贝叶斯定理？如何用贝叶斯定理解释我们似是而非的推理？在本模块中，我们将通过一些简单的概率空间和现实生活的例子来讨论这些问题。

在上一单元中，我们讨论了如何计算随机事件的概率。但在许多实际情况中，我们不仅对正负结果感兴趣，还对结果的某些定量特征感兴趣。这些情况包括算法的步数、涉及任何一种随机性的游戏中的获胜点数，以及某个群体中随机人物的所有量化特征。基本上，当 (a) 出现任何形式的不确定性 (b) 我们对定量特征感兴趣时，这种情况就会出现。这种情况的数学模型称为随机变量。我们将在本模块中讨论它们。

在本模块中，我们将运用积累的知识创建一个项目，解决某个骰子游戏。这个游戏非常简单：两名玩家从给定的骰子池中各选一个骰子，骰子的边上有不同的数字。然后，每位玩家掷出自己的骰子，骰子上数字较大的玩家获胜。这个游戏看起来非常简单，而且只要我们知道我们的骰子池，似乎就很容易以最佳方式玩这个游戏。然而，事实证明这种直觉是大错特错的：这个游戏原来是非常反直觉的。在本模块中，我们将详细讨论这个游戏，并创建一个程序，找出在给定骰子池中玩游戏的最佳策略。