我们如何确定存在符合特定要求的对象呢？一种方法是遍历所有对象，检查其中是否至少有一个符合要求。然而，在许多情况下，搜索空间是巨大的。计算机可能会有所帮助，但一些缩小搜索空间的推理方法对于计算机搜索和 "徒手 "工作都很重要。在本模块中，我们将学习各种技术，以证明某个对象是存在的，以及某个对象在所有其他对象中是最优的。像往常一样，我们将练习解决许多互动谜题。我们还将展示一些计算机程序，帮助我们构建一个例子。

我们将发现定义对象、证明概念和实现程序的两种强大方法--递归和归纳。这两种方法在离散数学和计算机科学中被大量使用。尤其是在算法中，你会经常看到它们的身影--用于分析算法的正确性和运行时间，以及实现高效的解决方案。对于某些计算问题（如探索网络），递归解决方案是最自然的解决方案。递归和归纳的主要思想是将给定问题分解为同一类型的更小问题。能够看到这种分解是数学和编程中的一项重要技能。我们将通过共同解决各种问题来磨练这种技能。

数理逻辑在创建令人信服的论据方面发挥着不可或缺的关键作用。我们在编写代码、推理和决策以及使用计算机程序时，都会用到数理逻辑的规则和语言。本周我们将学习数理逻辑的基础知识，并练习数理逻辑中棘手的、看似违反直觉但又合乎逻辑的方面。这将帮助我们编写可读性强、精确的代码，并严谨、简洁地表达我们的想法。

"有些东西永远不会改变"。这句话不仅是一句哲学名言，也是离散数学和计算机科学中的一个重要思想。在过程中保持不变的属性称为不变式。在分析算法、程序和其他过程的行为时，不变式被大量使用。能够找到正确的不变式是我们将在本模块中共同培养的一项重要技能。

在本 Modulation 中，我们将研究一个著名的 15 字谜，即需要恢复一个正方形盒子中 15 个正方形棋子的顺序。结果发现，这个谜题的行为是由数学决定的：当且仅当相应的排列是偶数时，谜题才是可解的。为了理解这意味着什么以及为什么这是真的，我们将学习偶数和奇数排列的基本性质--这是代数和离散数学中的一个重要概念。我们将一起使用一些简单的方法来处理排列。然后，您将使用它们作为构建模块来实现一个程序，该程序可以在眨眼间解决这个游戏的任何配置！