在上一模块的基础上，我们现在将微积分工具推广到处理多变量系统。这意味着我们可以使用一个具有多个输入的函数，并分别确定每个输入的影响。机器学习方法需要分析具有数千个输入的函数，这种情况并不罕见，因此我们还将介绍必要的线性代数结构，以便有序地存储多元微积分分析的结果。

在了解了多元微积分实际上并不比单变量复杂之后，我们现在重点讨论链式法则的应用。神经网络是机器学习领域最流行、最成功的概念结构之一。神经网络由神经元连接而成，其灵感来源于生物大脑的结构。每个神经元的行为都受一组控制参数的影响，其中每个参数都需要优化，以最适合数据。多变量链式法则可用于计算网络中每个参数的影响，并允许在训练过程中对其进行更新。

泰勒级数是一种用多项式级数重新表达函数的方法。这种方法是对复杂函数使用简单线性近似的基本原理。在本模块中，我们将推导出单变量泰勒级数的正式表达式，并讨论这一结果与机器学习相关的一些重要后果。最后，我们将讨论多变量情况，并了解雅各布和赫塞斯是如何发挥作用的。

如果我们想找到一个函数的最小点和最大点，那么我们可以使用多元微积分来实现这一目标，例如优化函数的参数（空间）以拟合某些数据。 首先，我们将在一维范围内进行优化，利用梯度来估计函数零点的位置，然后用牛顿-拉斐逊法进行迭代。 然后，我们将把这一想法扩展到多维度，找到梯度向量 Grad，也就是雅各布向量。 这样，我们就能通过所谓的梯度下降法找到最小值和最大值。 然后，我们将利用 Grad 沿空间中的约束条件找到最小值和最大值，这就是拉格朗日乘法。

为了将拟合函数的拟合参数优化为某些数据的最佳拟合参数，我们需要一种方法来定义拟合的好坏。 这种拟合优度称为秩方，我们首先将其应用于直线拟合--线性回归。 然后，我们将研究如何在一般情况下使用梯度下降法利用卡方优化拟合函数。最后，我们将看看如何在 Python 中用几行代码就能轻松实现这一目标，这将是本课程的收尾部分。