Dieser Kurs ist eine Einführung in die Finite-Elemente-Methode, die auf eine Reihe von Problemen in der Physik und den Ingenieurwissenschaften anwendbar ist. Die Behandlung ist mathematisch, aber nur zum Zweck der Klärung der Formulierung. Der Schwerpunkt liegt auf der Codierung der Formulierungen in einer modernen, quelloffenen Umgebung, die später auf andere Anwendungen ausgeweitet werden kann. Der Kurs umfasst etwa 45 Stunden Vorlesungen, die das Material abdecken, das ich normalerweise in einer einführenden Graduiertenklasse an der University of Michigan unterrichte. Die Behandlung ist mathematisch, was bei einem Thema, dessen Wurzeln tief in der Funktionalanalysis und Variationsrechnung liegen, nur natürlich ist. Sie ist jedoch nicht formal, denn das Hauptziel dieser Vorlesungen ist es, den Zuschauer zu einem kompetenten Entwickler von Finite-Elemente-Code zu machen. Wir verbringen zwar Zeit mit rudimentärer Funktionsanalyse und Variationsrechnung, aber nur, um die mathematische Grundlage für die Methoden hervorzuheben, die wiederum erklärt, warum sie so gut funktionieren. Ein großer Teil des Erfolgs der Finite-Elemente-Methode als Berechnungsrahmen liegt in der Strenge ihrer mathematischen Grundlage, und diese muss gewürdigt werden, wenn auch nur auf die hier vorgestellte elementare Weise. Ein Hintergrundwissen über PDEs und, was noch wichtiger ist, über lineare Algebra wird vorausgesetzt, obwohl der Betrachter feststellen wird, dass wir alle relevanten Ideen entwickeln, die benötigt werden. Die Entwicklung selbst konzentriert sich auf die klassischen Formen von partiellen Differentialgleichungen (PDEs): elliptisch, parabolisch und hyperbolisch. In jeder Phase stellen wir jedoch zahlreiche Verbindungen zu den physikalischen Phänomenen her, die durch die PDEs dargestellt werden. Der Übersichtlichkeit halber beginnen wir mit elliptischen PDEs in einer Dimension (linearisierte Elastizität, stationäre Wärmeleitung und Massendiffusion). Anschließend gehen wir zu dreidimensionalen elliptischen PDEs mit skalaren Unbekannten über (Wärmeleitung und Massendiffusion), bevor wir die Behandlung elliptischer PDEs mit dreidimensionalen Problemen mit vektoriellen Unbekannten (linearisierte Elastizität) beenden. Es folgen parabolische PDEs in drei Dimensionen (instationäre Wärmeleitung und Massendiffusion), und die Vorlesung endet mit hyperbolischen PDEs in drei Dimensionen (lineare Elastodynamik). Zwischen den Vorlesungen finden Sie Antworten auf Fragen, die von einer kleinen Gruppe von Studenten und Post-Docs gestellt wurden, die die Vorlesungen live verfolgt haben. An geeigneten Stellen in den Vorlesungen unterbrechen wir die mathematische Entwicklung, um das Code-Framework zu erläutern, das vollständig Open Source ist und auf C++ basiert. Bücher: Es gibt viele Bücher über Finite-Elemente-Methoden. Für diesen Kurs gibt es kein vorgeschriebenes Lehrbuch. Wir empfehlen jedoch die folgenden Bücher für eine detailliertere und umfassendere Behandlung, als sie in einem Kurs vermittelt werden kann: The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis, T.J.R. Hughes, Dover Publications, 2000. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor und J.Z. Zhu, Butterworth-Heinemann, 2005. A First Course in Finite Elements, J. Fish und T. Belytschko, Wiley, 2007. Ressourcen: Sie können die deal.ii Bibliothek unter dealii.org herunterladen. In den Vorlesungen finden Sie Anleitungen zur Programmierung, in denen wir weitere Ressourcen auflisten, die Sie verwenden können, wenn Sie deal.ii nicht auf Ihrem eigenen Computer installieren können. Sie benötigen cmake, um deal.ii auszuführen. Es ist unter cmake.org erhältlich.