In Woche 2 führen wir die grundlegenden Definitionen der Finite-Differenzen-Methode ein. Wir lernen, wie man Taylor-Reihen verwendet, um den Fehler der Finite-Differenzen-Approximationen für Ableitungen abzuschätzen und wie man die Genauigkeit der Approximationen mit längeren Operatoren erhöht. Wir lernen auch, wie man numerische Ableitungen mit Python implementiert.

Wir entwickeln den Finite-Differenzen-Algorithmus für die akustische Wellengleichung in 1D, erörtern die Randbedingungen und wie man ein Simulationsbeispiel initialisiert. Wir sehen uns Lösungen mit der Python-Implementierung an und beobachten numerische Artefakte. Wir leiten eines der wichtigsten Ergebnisse der numerischen Analyse analytisch her - das CFL-Kriterium, das zu einem bedingt stabilen Algorithmus für explizite Finite-Differenzen-Schemata führt.

Wir entwickeln die Lösung der akustischen 2D-Wellengleichung, vergleichen sie mit analytischen Lösungen und zeigen das Phänomen der numerischen (nicht-physikalischen) Anisotropie. Wir erweitern die von-Neumann-Analyse auf 2D und leiten die numerische Anisotropie analytisch ab. Wir lernen, wie man ein realistisches physikalisches Problem initialisiert und veranschaulichen, dass 2D-Lösungen bereits recht leistungsfähig sind, um komplexe Wellenphänomene zu verstehen. Wir führen die elastische 1D-Wellengleichung ein und zeigen das Konzept der gestaffelten Gitterschemata mit der gekoppelten Geschwindigkeits-Spannungs-Formulierung erster Ordnung.

Wir beginnen mit dem Problem der Funktionsinterpolation, das zum Konzept der Fourier-Reihen führt. Wir gehen zu den diskreten Fourier-Reihen über und beleuchten ihre exakten Interpolationseigenschaften auf regelmäßigen räumlichen Gittern. Wir führen die Ableitung von Funktionen mit Hilfe von diskreten Fourier-Transformationen ein und verwenden sie zur Lösung der 1D- und 2D-Schallwellengleichung. Die Notwendigkeit, Wellen in begrenzten Bereichen zu simulieren, führt uns zur Definition von Tschebyscheff-Polynomen und ihrer Verwendung als Basisfunktionen für die Funktionsinterpolation. Wir entwickeln das Konzept der Differenzierungsmatrizen und diskutieren ein Lösungsschema für die elastische Wellengleichung unter Verwendung von Tschebyscheff-Polynomen.

Wir führen das Konzept der finiten Elemente ein und entwickeln die schwache Form der Wellengleichung. Wir diskutieren das Galerkin-Prinzip und leiten einen Finite-Elemente-Algorithmus für das statische Elastizitätsproblem ab, der auf linearen Basisfunktionen basiert. Wir diskutieren auch, wie man Randbedingungen implementiert. Für dieselbe Gleichung wird die auf Finite-Differenzen basierende Relaxationsmethode abgeleitet und die Lösung mit dem Finite-Elemente-Algorithmus verglichen.

Wir erweitern die Finite-Elemente-Lösung auf die elastische Wellengleichung und vergleichen das Lösungsschema mit der Finite-Differenzen-Methode. Um einen direkten Vergleich zu ermöglichen, formulieren wir die Finite-Differenzen-Lösung in Matrix-Vektor-Form und zeigen die Ähnlichkeit der linearen Finite-Elemente-Methode und des Finite-Differenzen-Ansatzes. Wir führen das Konzept der h-Adaptivität ein, die Raumabhängigkeit der Elementgröße bei heterogenen Medien.

Wir stellen die Grundlagen der Spektralelement-Methode vor und entwickeln ein Lösungsschema für die 1D elastische Wellengleichung. Lagrange-Polynome werden als die Basisfunktionen der Wahl diskutiert. Das Konzept der numerischen Integration nach Gauß-Lobatto-Legendre wird eingeführt und gezeigt, dass es zu einer diagonalen Massenmatrix führt, die ihre Inversion trivial macht.

Wir schließen die Herleitung der Spektralelementlösung für die elastische Wellengleichung ab. Wir zeigen, wie man die erforderlichen Ableitungen der Lagrange-Polynome unter Verwendung von Legendre-Polynomen berechnet. Wir zeigen, wie man den Zusammensetzungsschritt durchführt, der zum endgültigen Lösungssystem für die elastische Wellengleichung führt. Wir demonstrieren die numerische Lösung für homogene und heterogene Medien.