Funktionen entstehen immer dann, wenn eine Größe von einer anderen abhängt. Mathematisch ausgedrückt ist eine Funktion eine Regel, die jedem Element x in einer Menge D (genannt Domäne) genau ein Element, genannt f(x), in einer Menge, genannt Bereich, zuordnet. Da wir ständig Theorien über Abhängigkeiten zwischen Größen in der Natur und in der Gesellschaft aufstellen, sind Funktionen wichtige Werkzeuge bei der Konstruktion mathematischer Modelle. In diesem Modul lernen wir die Theorie der Funktionen kennen, sehen uns viele Beispiele und ihre Graphen an und wenden diese Funktionen auch an. Wir werden auch lernen, wie man diese Funktionen in Python implementiert.

Kalkül ist die Wissenschaft vom Messen von Veränderungen. Schon früh in ihrer Geschichte wurden ihre Werkzeuge entwickelt, um Probleme mit der Position, der Geschwindigkeit und der Beschleunigung sich bewegender Objekte zu lösen. Vor der Entwicklung der Infinitesimalrechnung gab es keine Möglichkeit, diese Veränderung in einer Variablen auszudrücken. In diesem Abschnitt führen wir den Begriff der Grenzen ein, um die Ableitung einer Funktion zu entwickeln. Die Ableitung, die üblicherweise als f'(x) bezeichnet wird, misst die momentane Änderungsrate einer Funktion an einem bestimmten Punkt x = a. Diese Zahl f'(a) wird, wenn sie definiert ist, grafisch als die Steigung der Tangente an eine Kurve dargestellt. In diesem Modul werden wir sehen, wie man Grenzwerte und Ableitungen sowohl analytisch als auch mit Python ermitteln kann.

Die Ableitung ist als Grenzwert des Differenzquotienten definiert. Diesen Grenzwert symbolisch zu berechnen, ist bei komplizierten Funktionen sehr schwierig. In diesem Abschnitt entwickeln wir Regeln, um die Ableitung zu finden, ohne jedes Mal auf die Grenzwertdefinition zurückgreifen zu müssen. Diese Regeln sind rein algebraischer Natur und helfen uns, das Verhalten einer Ableitungsfunktion besser zu verstehen. Noch wichtiger ist, dass diese Regeln dazu beitragen, die Funktion Ableitung() zu entmystifizieren und die Schritte aufzuzeigen, die zur Ausgabe der Funktion führen. Das Verständnis des Prozesses ermöglicht die Beherrschung, Anpassung und kompliziertere Anwendungen dieser Konzepte.

Ein wichtiges Thema in der Infinitesimalrechnung ist die so genannte "Integralrechnung", bei der es darum geht, Flächen oder Volumina von Regionen durch Addition kleiner Teile zu bestimmen. Wir fangen an, uns Flächen oder Volumina als eine Akkumulation der kleineren Teile vorzustellen, aus denen sie bestehen, und können dann die Theorie der Integralrechnung anwenden, um Nettoveränderungen und Gesamtakkumulationen zu messen. Durch den Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung wird dies dann wieder auf den Ausgangspunkt zurückgeführt: Ableitungen. In diesem Modul werden einige der schönsten und nützlichsten Anwendungen der Infinitesimalrechnung vorgestellt. Algebraische Techniken werden neben numerischen Berechnungen mit Python gezeigt.