本课程是有限元方法的入门课程,适用于物理学和工程科学中的一系列问题。本课程采用数学方法处理问题,但目的仅在于阐明公式。课程包括约 45 个小时的讲座,内容涵盖我通常在密歇根大学研究生入门班上讲授的材料。课程的处理方式是数学化的,这对于一个深深扎根于函数分析和变分微积分的课题来说是很自然的。不过,它并不正式,因为这些讲座的主要目的是让观众成为一名合格的有限元代码开发人员。我们的确会花时间讲解基本的函数分析和变分微积分,但这只是为了突出这些方法的数学基础,进而解释它们为何如此有效。作为一种计算框架,有限元法的成功在很大程度上在于其数学基础的严谨性,这一点需要得到重视,即使只是以本文介绍的初级方式。我们假定读者具有偏微分方程(PDE)的背景,更重要的是线性代数的背景,但读者会发现我们发展了所需的所有相关思想。 发展本身侧重于偏微分方程(PDE)的经典形式:椭圆、抛物和双曲。不过,在每个阶段,我们都会将其与偏微分方程所代表的物理现象联系起来。为了清晰起见,我们从一维的椭圆 PDE 开始(线性化弹性、稳态热传导和质量扩散)。然后,我们将讨论标量未知数中的三维椭圆 PDE(热传导和质量扩散),最后以矢量未知数中的三维问题(线性化弹性)结束对椭圆 PDE 的讨论。接下来是三维抛物线 PDE(非稳态热传导和质量扩散),最后以三维双曲 PDE(线性弹性力学)结束讲座。讲座中还穿插了对现场聆听讲座的一小群研究生和博士后学者提出的问题的回答。在讲座的适当部分,我们会打断数学的发展,介绍代码框架,该框架完全开源,基于 C++。 书籍:关于有限元方法的书籍很多。本课程没有必读教科书。不过,我们推荐以下书籍,这些书籍的内容比任何形式的课堂都要详细和广泛: The Finite Element Method:线性静态和动态有限元分析》,T.J.R. Hughes,Dover Publications,2000 年。 有限元方法》:其基础和基本原理》,O.C. Zienkiewicz、R.L. Taylor 和 J.Z. Zhu,Butterworth-Heinemann,2005 年。 《有限元第一课》,J. Fish 和 T. Belytschko,Wiley,2007 年。 资源:您可以在 dealii.org 下载 deal.ii 库。如果您无法在自己的计算机上安装 deal.ii,我们会在讲座中提供编码教程,并列出您可以使用的其他资源。运行 deal.ii 需要 cmake。它可在 cmake.org 获取。
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该课程共有13个模块
本单元介绍可以用有限元法求解的简单一维问题。
涵盖的内容
11个视频3篇阅读材料1个作业
本单元将介绍一维问题的近似或有限维弱形式。
涵盖的内容
14个视频1个作业
在本单元中,您将以矩阵-向量形式写出有限维弱形式。您还将学习在 deal.ii 框架中编码。
涵盖的内容
14个视频1个作业1个编程作业
本单元将进一步详细介绍边界条件、高阶基函数和数值正交。您还将学习第一个编码任务的模板。
涵盖的内容
17个视频1个作业
本单元概述了有限元法的数学分析。
涵盖的内容
12个视频1个作业
本单元开发了弱式的另一种推导方法,适用于某些物理问题。
涵盖的内容
4个视频1个作业
在本单元中,我们将开发用于三维标量问题(如热传导或质量扩散问题)的有限元方法。
涵盖的内容
24个视频1个作业
在本单元中,您将完成取决于基函数选择的三维表述的一些细节,并了解第二次编码任务。
涵盖的内容
9个视频1个作业1个编程作业
在本单元中,我们将绕道研究标量问题的二维公式,如稳态热方程或扩散方程。
涵盖的内容
6个视频1个作业
本单元介绍稳定状态下的三维线性化弹性问题,并开发了该问题的有限元方法。此外,还研究了代码模板的各个方面。
涵盖的内容
22个视频1个作业1个编程作业
在本单元中,我们将研究非稳态热传导或质量扩散问题及其有限元公式。
涵盖的内容
27个视频1个作业1个编程作业
在本单元中,我们将研究弹性动力学问题及其有限元公式。
涵盖的内容
9个视频1个作业
这是一个总结,并对今后的研究提出了建议。
涵盖的内容
1个视频2篇阅读材料
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学生评论
558 条评论
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已于 Sep 4, 2020审阅
Well worth the time if you wish to understand the mathematical origin of the FEM methods used in solving various physical situations such as heat/mass transfer and solid mechanics
已于 Nov 22, 2020审阅
Excellent course, subject matter is presented very methodically, and the instructor's command over the subject taught is outstanding.
已于 Mar 8, 2017审阅
A rigorous and organized introduction to the subject with the additional benefit of learning through implementation.
常见问题
您需要足够的计算资源来安装和运行代码。根据安装类型的不同,下载的压缩文件可能只有 13MB,串行 MacOSX 二进制文件可能只有 45MB,并行 MacOSX 二进制文件可能只有 192MB。此外,您还需要使用我们推荐的特定可视化程序。总之,如果你有 1GB 的空间,应该没问题。或者,你也可以下载一个虚拟机接口。
您将能够编写代码,模拟物理学中一些最美丽的问题,并将物理学可视化。
您需要了解矩阵和向量。看过偏微分方程会对你很有帮助。代码是用 C++ 编写的,但你并不需要一开始就懂 C++。我们将为您提供资源,让您掌握本课所需的 C++。不过,您需要进行过一些编程(Matlab、Fortran、C、Python、C++ 都可以)。
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