La recherche de racines est une technique numérique utilisée pour déterminer les racines, ou zéros, d'une fonction donnée. Nous étudierons plusieurs méthodes de recherche de racines, notamment la méthode de bissection, la méthode de Newton et la méthode Secant. Nous déduirons également l'ordre de convergence de ces méthodes. En outre, nous montrerons comment calculer la fractale de Newton à l'aide de la méthode de Newton dans MATLAB, et nous discuterons des fonctions MATLAB qui peuvent être utilisées pour trouver les racines. Pour votre projet de programmation, vous écrirez un code MATLAB utilisant la méthode de Newton pour calculer le delta de Feigenbaum à partir du diagramme de bifurcation de la carte logistique.

L'algèbre linéaire numérique est le terme utilisé pour l'algèbre matricielle effectuée sur un ordinateur. Lors de l'élimination gaussienne de grandes matrices, des erreurs d'arrondi peuvent compromettre le calcul. Ces erreurs peuvent être atténuées en utilisant la méthode du pivotement partiel, qui implique des échanges de lignes avant chaque étape d'élimination. L'algorithme de décomposition LU doit alors intégrer les matrices de permutation. Nous discuterons également du décompte des opérations et de la notation big-Oh pour prédire l'augmentation du temps de calcul avec l'augmentation de la taille des problèmes. Nous montrerons comment compter le nombre d'opérations requises pour l'élimination gaussienne, la substitution en avant et la substitution en arrière. Nous expliquerons la méthode de puissance pour calculer la plus grande valeur propre d'une matrice. Enfin, nous montrerons comment utiliser l'élimination de Gauss pour résoudre un système d'équations différentielles non linéaires à l'aide de la méthode de Newton. Pour votre projet de programmation, vous écrirez un code MATLAB qui applique la méthode de Newton aux équations de Lorenz.

Le calcul des intégrales définies est connu sous le nom de quadrature. Nous explorerons les principes fondamentaux de la quadrature, y compris les formules élémentaires pour la règle du trapèze et la règle de Simpson, le développement de règles d'intégration composites, une introduction à la quadrature gaussienne, la construction d'une routine de quadrature adaptative dans laquelle le logiciel détermine la taille du pas d'intégration approprié, et l'utilisation de la fonction MATLAB integral.m. En outre, nous apprendrons ce qu'est l'interpolation. Une bonne routine d'interpolation peut estimer les valeurs de la fonction à des points d'échantillonnage intermédiaires. Nous découvrirons l'interpolation linéaire, couramment utilisée pour tracer des données comportant de nombreux points, et l'interpolation par spline cubique, utilisée lorsque les points de données sont peu nombreux. Pour votre projet de programmation, vous écrirez un code MATLAB pour calculer les zéros d'une fonction de Bessel. Cette tâche nécessite la combinaison de routines de quadrature et de recherche de racines.

Nous apprendrons l'intégration numérique des équations différentielles ordinaires (ODE). Nous présenterons la méthode d'Euler, une méthode du premier ordre à une étape, et les méthodes de Runge-Kutta, qui étendent la méthode d'Euler à plusieurs étapes et à un ordre supérieur, permettant des pas de temps plus importants. Nous montrerons comment construire une famille de méthodes de Runge-Kutta du second ordre, nous discuterons de la méthode de Runge-Kutta du quatrième ordre, largement utilisée, et nous adopterons ces méthodes pour résoudre des systèmes d'EDO. Nous montrerons comment utiliser la fonction MATLAB ode45.m et comment résoudre une EDO à valeur limite en deux points à l'aide de la méthode de tir. Pour votre projet de programmation, vous effectuerez une simulation numérique du problème gravitationnel à deux corps.

Nous apprendrons à résoudre les équations aux dérivées partielles (EDP). Bien qu'il s'agisse d'un vaste sujet avec diverses méthodes de résolution spécialisées, comme celles que l'on trouve dans la dynamique des fluides informatique, nous fournirons une introduction de base au sujet. Nous classerons les solutions d'EDP en problèmes de valeurs limites et en problèmes de valeurs initiales. Nous appliquerons ensuite la méthode des différences finies pour résoudre les EDP. Nous résoudrons l'équation de Laplace, un problème de valeur limite, en utilisant deux méthodes : une méthode directe via l'élimination gaussienne ; et une méthode itérative, où la solution est approchée de manière asymptotique. Nous résoudrons ensuite l'équation de diffusion unidimensionnelle, un problème de valeur initiale, à l'aide de la méthode de Crank-Nicolson. Nous utiliserons également l'analyse de stabilité de Von Neumann pour déterminer la stabilité des schémas d'intégration temporelle. Pour votre projet de programmation, vous résoudrez l'équation de diffusion bidimensionnelle à l'aide de la méthode de Crank-Nicolson.