De combien de façons peut-on sélectionner une équipe de cinq étudiants sur dix ? Quel est le nombre d'entiers non négatifs d'au plus cinq chiffres dont les chiffres sont décroissants ? De combien de façons peut-on aller de la case en bas à gauche à la case en haut à droite d'une grille de 5 x 5, en allant à chaque fois soit vers le haut, soit vers la droite ? Et pourquoi ces trois nombres sont-ils égaux ? C'est ce que nous allons découvrir dans ce module !

Nous avons déjà examiné la plupart des paramètres standard de la combinatoire qui nous permettent d'aborder de nombreux problèmes de comptage. Cependant, l'application réussie de ces connaissances dans la pratique nécessite une expérience considérable dans ce type de problèmes. Dans ce module, nous aborderons le dernier cadre standard de notre cours, les combinaisons avec répétitions, puis nous acquerrons de l'expérience en discutant de divers problèmes en combinatoire.

Le mot "probabilité" est très souvent utilisé dans la vie de tous les jours. Cependant, nous ne pouvons pas toujours parler de la probabilité comme d'un nombre : pour cela, un modèle mathématique est nécessaire. Quel est ce modèle mathématique (espace de probabilité) ? Comment calculer les probabilités (si le modèle est donné) ? Comment juger si le modèle est adéquat ? Qu'est-ce que la probabilité conditionnelle et le théorème de Bayes ? Comment notre raisonnement plausible peut-il être interprété en termes de théorème de Bayes ? Dans ce module, nous couvrons ces questions à l'aide d'exemples simples d'espaces de probabilité et de situations réelles.

Dans le module précédent, nous avons vu comment calculer les probabilités d'événements aléatoires. Mais dans de nombreuses situations pratiques, nous sommes intéressés non seulement par un résultat positif ou négatif, mais aussi par certaines caractéristiques quantitatives d'un résultat. Parmi ces cas, citons le nombre d'étapes d'un algorithme, le nombre de points que l'on peut gagner dans les jeux impliquant une forme quelconque de hasard, toutes les caractéristiques quantitatives d'une personne aléatoire dans un groupe de personnes. Fondamentalement, des paramètres de ce type apparaissent dans toutes les situations où (a) une incertitude quelconque est présente (b) nous nous intéressons à des caractéristiques quantitatives. Le modèle mathématique pour cela s'appelle les variables aléatoires. Nous en discuterons dans ce module.

Dans ce module, nous appliquerons les connaissances accumulées pour créer un projet résolvant un certain jeu de dés. Le jeu est très simple : deux joueurs choisissent chacun un dé dans une réserve donnée de dés portant différents chiffres sur leurs faces. Ensuite, chaque joueur lance son dé et celui qui a le plus grand nombre sur son dé gagne. Le jeu semble très simple et il semble qu'il soit très facile de jouer à ce jeu de manière optimale une fois que l'on connaît le nombre de dés. Pourtant, il s'avère que cette intuition est largement erronée : le jeu s'avère très contre-intuitif. Dans ce module, nous discuterons du jeu en détail et nous créerons un programme qui trouvera une stratégie optimale pour jouer au jeu avec un ensemble de dés donné.