Wir verallgemeinern die numerische Euler-Methode auf eine ODE zweiter Ordnung. Anschließend entwickeln wir zwei theoretische Konzepte, die für lineare Gleichungen verwendet werden: das Prinzip der Überlagerung und den Wronskian. Mit diesen Konzepten können wir analytische Lösungen für eine homogene ODE zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten finden. Wir verwenden einen exponentiellen Ansatz und transformieren die ODE mit konstanten Koeffizienten in eine Polynomgleichung zweiter Ordnung, die charakteristische Gleichung der ODE. Die charakteristische Gleichung kann reelle oder komplexe Wurzeln haben und wir lernen Lösungsmethoden für die verschiedenen Fälle.

Wir fügen nun der ODE mit konstantem Koeffizienten einen inhomogenen Term hinzu. Der inhomogene Term kann ein Exponentialwert, ein Sinus oder Kosinus oder ein Polynom sein. Wir untersuchen auch das Phänomen der Resonanz, wenn die erzwungene Frequenz gleich der natürlichen Frequenz des Oszillators ist. Schließlich lernen wir drei wichtige Anwendungen kennen: den RLC-Stromkreis, eine Masse an einer Feder und das Pendel.

Wir stellen zwei neue analytische Lösungsmethoden zur Lösung von linearen ODEs vor. Die erste ist die Laplace-Transformationsmethode, die zur Lösung der ODE mit konstantem Koeffizienten und einem diskontinuierlichen oder impulsiven inhomogenen Term verwendet wird. Die Laplace-Transformation ist im Allgemeinen ein gutes Mittel, um anspruchsvolle Integraltransformationstechniken in einem leicht verständlichen Kontext einzuführen. Wir führen auch die Lösung einer linearen ODE durch eine Serienlösung ein. Obwohl wir hier nicht näher darauf eingehen, kann eine Einführung in diese Technik für Studenten nützlich sein, die ihr in fortgeschritteneren Kursen wieder begegnen.

Wir lernen, wie man ein gekoppeltes System von homogenen Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten löst. Dieses System von ODEs kann in Matrixform geschrieben werden, und wir lernen, wie man diese Gleichungen in ein Standard-Eigenwertproblem der Matrixalgebra umwandelt. Die zweidimensionalen Lösungen werden dann mithilfe von Phasenporträts visualisiert. Als nächstes lernen wir die wichtige Anwendung gekoppelter harmonischer Oszillatoren und die Berechnung von Normalmoden kennen. Die Normalmoden sind die Bewegungen, bei denen die einzelnen Massen, aus denen das System besteht, mit der gleichen Frequenz schwingen. Anschließend wenden wir die Theorie an, um ein System aus zwei gekoppelten harmonischen Oszillatoren zu lösen, und verwenden die Normalmoden, um die Bewegung des Systems zu analysieren.

Um zu lernen, wie man eine partielle Differentialgleichung (PDE) löst, definieren wir zunächst eine Fourier-Reihe. Dann leiten wir die eindimensionale Diffusionsgleichung ab, eine PDE, die die Diffusion eines Farbstoffs in einem Rohr beschreibt. Anschließend lösen wir diese PDE mit der Methode der Trennung der Variablen. Dabei wird die PDE in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) aufgeteilt, die dann mit den Standardtechniken zur Lösung von ODEs gelöst werden können. Anschließend verwenden wir die Lösungen dieser beiden ODEs und unsere Definition einer Fourier-Reihe, um die Lösung der ursprünglichen PDE zu ermitteln.