Auf wie viele Arten kann man ein Team von fünf Studenten aus zehn Studenten auswählen? Wie groß ist die Anzahl der nichtnegativen ganzen Zahlen mit höchstens fünf Ziffern, deren Ziffern abnehmend sind? Auf wie viele Arten kann man von der linken unteren Zelle zur rechten oberen Zelle eines 5x5-Gitters gelangen, wobei man jedes Mal entweder nach oben oder nach rechts geht? Und warum sind alle diese drei Zahlen gleich? Das werden wir in diesem Modul herausfinden!

Wir haben bereits die meisten Standardeinstellungen in der Kombinatorik betrachtet, die es uns ermöglichen, viele Zählprobleme zu lösen. Die erfolgreiche Anwendung dieses Wissens in der Praxis erfordert jedoch erhebliche Erfahrung mit dieser Art von Problemen. In diesem Modul werden wir uns mit der letzten Standardeinstellung unseres Kurses, den Kombinationen mit Wiederholungen, befassen und dann einige Erfahrungen sammeln, indem wir verschiedene Probleme der Kombinatorik diskutieren.

Das Wort "Wahrscheinlichkeit" wird im Alltag recht häufig verwendet. Doch nicht immer können wir über die Wahrscheinlichkeit in Form einer Zahl sprechen: Dafür ist ein mathematisches Modell erforderlich. Was ist dieses mathematische Modell (Wahrscheinlichkeitsraum)? Wie berechnet man Wahrscheinlichkeiten (wenn das Modell gegeben ist)? Wie kann man beurteilen, ob das Modell angemessen ist? Was ist die bedingte Wahrscheinlichkeit und das Bayes-Theorem? Wie lassen sich unsere plausiblen Überlegungen mit Hilfe des Bayes'schen Theorems interpretieren? In diesem Modul behandeln wir diese Fragen anhand einiger einfacher Beispiele von Wahrscheinlichkeitsräumen und realen Situationen.

Im vorherigen Modul haben wir besprochen, wie man Wahrscheinlichkeiten von Zufallsereignissen berechnet. Aber in vielen praktischen Situationen sind wir nicht nur an einem positiven oder negativen Ergebnis interessiert, sondern auch an einigen quantitativen Merkmalen eines Ergebnisses. Zu diesen Fällen gehören die Anzahl der Schritte eines Algorithmus, die Anzahl der Punkte, die man in Spielen gewinnen kann, die irgendeine Art von Zufall beinhalten, alle quantitativen Eigenschaften einer zufälligen Person in einer Gruppe von Menschen. Grundsätzlich treten solche Situationen immer dann auf, wenn (a) irgendeine Art von Unsicherheit vorliegt und (b) wir an quantitativen Merkmalen interessiert sind. Das mathematische Modell dafür wird Zufallsvariablen genannt. Und wir werden sie in diesem Modul besprechen.

In diesem Modul werden wir das erworbene Wissen anwenden, um ein Projekt zu erstellen, das ein bestimmtes Würfelspiel löst. Das Spiel ist sehr einfach: Zwei Spieler wählen jeweils einen Würfel aus einem vorgegebenen Pool von Würfeln mit verschiedenen Zahlen auf den Seiten. Dann wirft jeder Spieler seinen Würfel und derjenige, der die größere Zahl auf seinem Würfel hat, gewinnt. Das Spiel sieht sehr einfach aus und es scheint sehr leicht zu sein, dieses Spiel optimal zu spielen, sobald wir unseren Pool an Würfeln kennen. Es stellt sich jedoch heraus, dass diese Intuition ganz und gar falsch ist: Das Spiel erweist sich als sehr kontraintuitiv. In diesem Modul werden wir das Spiel im Detail besprechen und ein Programm erstellen, das eine optimale Strategie findet, um das Spiel mit einem gegebenen Pool von Würfeln zu spielen.